Question

【題目】如圖：正方形OABC置于坐標系中，B的坐標是（-4，4），點D是邊OA上一動點，以OD為邊在第一象限內作正方形ODEF．

（1）CD與AF有怎樣的位置關系，猜想并證明；

（2）當OD=______時，直線CD平分線段AF；

（3）在OD=2時，將正方形ODEF繞點O逆時針旋轉α°（0°＜α°＜180°），求當C、D、E共線時D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）CD⊥AF，理由見解析；（2）4-4；（3）（-1，）或（-1，-）．

【解析】

（1）證明△COD△AOF，可得∠OCD=∠OAF，根據三角形的內角和定理可得：∠AGD=∠DOC=90°，從而得結論；

（2）如圖2，根據線段垂直平分線的性質得：AC=CF，列方程可得結論；

（3）分兩種情況：①如圖3，當D在第二象限時，過D作DG⊥x軸于G，根據直角三角形30度角的性質可得DG和OG的長，由此得D的坐標；

②如圖4，當D在第三象限時，同理可得結論．

解：（1）CD⊥AF，理由是：

如圖1，延長CD交AF于G，

∵四邊形OABC和ODEF是正方形，

∴AO=OC，∠COD=∠AOF=90°，OF=OD，

∴△COD△AOF（SAS），

∴∠OCD=∠OAF，

∵∠ADG=∠CDO，

∴∠AGD=∠DOC=90°，

∴CD⊥AF；

（2）設OD=x，連接AC，如圖2，

當直線CD平分線段AF時，AC=CF，

∵B的坐標是（-4，4），

∴AC=4，

∴4=4+x，

x=4-4，

則當OD=4-4時，直線CD平分線段AF；

故答案為：4-4；

（3）分兩種情況：

①如圖3，當D在第二象限時，過D作DG⊥x軸于G，

∵C、D、E共線，

∴∠CDO=∠ODE=90°，

Rt△ODC中，OD=2，OC=4，

∴∠OCD=30°，CD=2，

∴DG=CD=，CG=3，

∴OG=4-3=1，

∴D（-1，），

②如圖4，當D在第三象限時，過D作DG⊥x軸于G，

同理得：OG=1，DG=，

∴D（-1，-），

綜上，點D的坐標為：（-1，）或（-1，-）．