Question

（2003•鎮江）已知，如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，兩直角邊AC、BC的長是關于x的方程x²-（m+5）x+6m=0的兩個實數根．
（1）求m的值及AC、BC的長（BC＞AC）；
（2）在線段BC的延長線上是否存在點D，使得以D、A、C為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出CD的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用根與系數的關系與勾股定理求出m的值，再代入m的值求出AC、BC的長；
（2）根據相似三角形的性質來解答此題，利用相似比即可求出CD的長．
解答：解：（1）設方程x²-（m+5）x+6m=0的兩個根分別是x₁、x₂
∴x₁+x₂=m+5，x₁•x₂=6m
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（m+5）²-2×6m
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5
∴x₁²+x₂²=AB²
∴（m+5）²-2×6m=5²∴m²-2m=0
∴m=0或m=2
當m=0時，原方程的解分別為x₁=0，x₂=5，但三角形的邊長不能為0，所以m=0舍去．
當m=2時，原方程為x²-7x+12=0，其解為x₁=3，x₂=4，所以兩直角邊AC=3，BC=4
∴m=2，AC=3，BC=4

（2）存在；
已知AC=3，BC=4，AB=5
欲使以△AD₁C為頂點的三角形與△ABC相似，則，∴，則CD=
欲使以△AD₂C為頂點的三角形與△ABC相似，則，∴BC=CD₂=4
點評：本題巧妙地將根與系數的關系、勾股定理、相似三角形聯系在一起，是一道綜合性較強的題目，同時還考查了分類討論思想．