Question

已知直線y=x與函數y=（x＞0，k＞0）的圖象交于點A，以坐標原點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交x軸正半軸于點C，直線AB交x軸負半軸于B點，∠ABC=30°．
（1）畫出滿足題意的示意圖；
（2）請用含π的代數式表示的值；（其中，S為△AOB面積，T為扇形AOC面積）
（3）設k取k₁時，△AOB面積為S₁，扇形AOC面積為T₁，k取k₂時，△AOB面積為S₂，扇形AOC面積為T₂…求-+-+…-+的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先確定點C的位置，再進一步畫出30度的角確定點B的位置；
（2）首先根據直線和雙曲線的解析式可以求得交點A的坐標，作AD⊥x軸于D，則得到等腰直角三角形AOD．根據勾股定理求得OA的長，即可表示出扇形的面積；要求OB的長，根據30度的直角三角形的性質求得BD的長，從而求得OB的長，即可表示出三角形的面積．最后求得比值；
（3）根據（2）的結論，不難看到它們之間的面積比是一個定值，利用抵消的方法即可求解．
解答：解：（1）畫圖正確（3分）


（2）由題意可得A點坐標為（，）過A作AD⊥x軸于D，（1分）
BO=-，AD=，OA=（1分）
∴△AOB的面積S=k（1分）
扇形AOC面積T=k（1分）
==
因此無論k值如何變化，的值都不變，==；（3分）

（3）-+-+-+==．
點評：注意：直線y=x即是第一、三象限的角平分線，可以出現等腰直角三角形．掌握等腰直角三角形和30度的直角三角形的性質，熟悉三角形和扇形的面積公式．