Question

如圖，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于點G，過點A作AE∥DB交CB的延長線于點E，過點B作BF∥CA交DA的延長線于點F，AE，BF相交于點H．
（1）圖中有若干對三角形是全等的，請你任選一對進行證明；（不添加任何輔助線）
（2）證明：四邊形AHBG是菱形；
（3）若使四邊形AHBG是正方形，還需在Rt△ABC的邊長之間再添加一個什么條件？請你寫出這個條件．（不必證明）

Answer 1

（1）解：△ABC≌△BAD．
證明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD（SAS）．

（2）證明：∵AH∥GB，BH∥GA，
∴四邊形AHBG是平行四邊形．
∵△ABC≌△BAD，
∴∠ABD=∠BAC．
∴GA=GB．
∴平行四邊形AHBG是菱形．

（3）解：需要添加的條件是AB=BC．
分析：（1）可根據已知條件，或者圖形的對稱性合理選擇全等三角形，如△ABC≌△BAD，利用SAS可證明．
（2）由已知可得四邊形AHBG是平行四邊形，由（1）可知∠ABD=∠BAC，得到△GAB為等腰三角形，?AHBG的兩鄰邊相等，從而得到平行四邊形AHBG是菱形．
點評：本題考查全等三角形，四邊形等幾何知識，考查幾何論證和思維能力，第（3）小題是開放題，答案不唯一．