Question

（2013•長沙）如圖，在平面坐標系中，直線y=-x+2與x軸，y軸分別交于點A，點B，動點P（a，b）在第一象限內，由點P向x軸，y軸所作的垂線PM，PN（垂足為M，N）分別與直線AB相交于點E，點F，當點P（a，b）運動時，矩形PMON的面積為定值2．
（1）求∠OAB的度數；
（2）求證：△AOF∽△BEO；
（3）當點E，F都在線段AB上時，由三條線段AE，EF，BF組成一個三角形，記此三角形的外接圓面積為S₁，△OEF的面積為S₂．試探究：S₁+S₂是否存在最小值？若存在，請求出該最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當x=0或y=0時分別可以求出y的值和x的值就可以求出OA與OB的值，從而就可以得出結論；
（2）由（1）可知∠OAB=45°，所以△AOB是等腰直角三角形，所以AB：OA=

2

：1，根據平行線的性質可以得出

BE

OM

=

AB

OA

=

2

，

AF

ON

=

AB

OB

=

2

，就可以得出

AF

OB

=

OA

BE

．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出結論；
（3）先根據E、F的坐標表示出相應的線段，根據勾股定理求出線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則可以表示此三角形的外接圓的面積S₁，再由梯形的面積公式和三角形的面積公式就可以表示出S₂，就可以表示出和的解析式，再由如此函數的性質就可以求出最值．

解答：解：（1）∵直線y=-x+2，∴當x=0時，y=2，B（0，2），
當y=0時，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2．
∵∠AOB=90°
∴∠OAB=45°；

（2）∵四邊形OMPN是矩形，
∴PM∥ON，NP∥OM，
∴

BE

OM

=

AB

OA

=

2

，

AF

ON

=

AB

OB

=

2

，
∴BE=

2

OM，AF=

2

ON，
∴BE•AF=

2

OM•

2

ON=2OM•ON．
∵矩形PMON的面積為2，
∴OM•ON=2
∴BE•AF=4．
∵OA=OB=2，
∴OA•OB=4，
∴BE•AF=OA•OB，
即

AF

OB

=

OA

BE

．
∵∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AOF∽△BEO；

（3）∵四邊形OMPN是矩形，∠OAF=∠EBO=45°，
∴△AME、△BNF、△PEF為等腰直角三角形．
∵E點的橫坐標為a，E（a，2-a），
∴AM=EM=2-a，
∴AE²=2（2-a）²=2a²-8a+8．
∵F的縱坐標為b，F（2-b，b）
∴BN=FN=2-b，
∴BF²=2（2-b）²=2b²-8b+8．
∴PF=PE=a+b-2，
∴EF²=2（a+b-2）²=2a²+4ab+2b²-8a-8b+8．
∵ab=2，
∴EF²=2a²+2b²-8a-8b+16
∴EF²=AE²+BF²．
∴線段AE、EF、BF組成的三角形為直角三角形，且EF為斜邊，則此三角形的外接圓的面積為
S₁=

π

4

EF²=

π

4

•2（a+b-2）²=

π

2

（a+b-2）²．
∵S_梯形OMPF=

1

2

（PF+ON）•PM，S_△PEF=

1

2

PF•PE，S_△OME=

1

2

OM•EM，
∴S₂=S_梯形OMPF-S_△PEF-S_△OME，
=

1

2

（PF+ON）•PM-

1

2

PF•PE-

1

2

OM•EM，
=

1

2

[PF（PM-PE）+OM（PM-EM）]，
=

1

2

（PF•EM+OM•PE），
=

1

2

PE（EM+OM），
=

1

2

（a+b-2）（2-a+a），
=a+b-2．
∴S₁+S₂=

π

2

（a+b-2）²+a+b-2．
設m=a+b-2，則S₁+S₂=

π

2

m²+m=

π

2

（m+

1

π

）²-

1

2π

，
∵面積不可能為負數，
∴當m＞-

1

π

時，S₁+S₂隨m的增大而增大．
當m最小時，S₁+S₂最�。�
∵m=a+b-2=a+

2

a

-2=（

a

-

2

a

）²+2

2

-2，
∴當

a

=

2

a

，即a=b=

2

時，m最小，最小值為2

2

-2
∴S₁+S₂的最小值=

π

2

（2

2

-2）²+2

2

-2，
=2（3-2

2

）π+2

2

-2．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，勾股定理及勾股定理的逆定理的運用，梯形的面積公式的運用，圓的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用二次函數的頂點式的運用，在解答時運用二次函數的頂點式求最值是關鍵和難點．