Question

（2013•長沙）如圖，在?ABCD中，M、N分別是AD，BC的中點，∠AND=90°，連接CM交DN于點O．
（1）求證：△ABN≌△CDM；
（2）過點C作CE⊥MN于點E，交DN于點P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的長．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分別是AD，BC的中點，即可利用SAS證得△ABN≌△CDM；
（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性質求解即可求得答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，
∵M、N分別是AD，BC的中點，
∴BN=DM，
∵在△ABN和△CDM中，

AB=CD ∠B=∠CDM BN=DM

，
∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）解：∵M是AD的中點，∠AND=90°，
∴MN=MD=

1

2

AD，
∴∠1=∠MND，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠CND，
∵∠1=∠2，
∴∠MND=∠CND=∠2，
∴PN=PC，
∵CE⊥MN，
∴∠CEN=90°，
∴∠2=∠PNE=30°，
∵PE=1，
∴PN=2PE=2，
∴CE=PC+PE=3，
∴CN=

CE

cos30°

=2

3

，
∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，
∴△CNM是等邊三角形，
∵△ABN≌△CDM，
∴AN=CM=2

3

．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、等邊三角形的判定與性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質以及三角函數等性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想的應用．