Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N為底邊BC的三等分點，連接AM，DN．
（1）求證：四邊形AMND是平行四邊形；
（2）連接BD、AC，AM與對角線BD交于點G，DN與對角線AC交于點H，且AC⊥BD．試判斷四邊形AGHD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

（1）證明：∵BC=3AD，BC=3MN，
∴AD=MN，
∵AD∥BC，
∴四邊形AMND是平行四邊形．

（2）解：四邊形AGHD是菱形．
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠MBG，
∵∠BGM=∠DGA，AD=BM，
∴△BGM≌△DGA（AAS），
∴AG=GM．
同理可得AH=HC，
∴GH是△AMC的中位線，
∴GH∥BC，，
∴GH∥AD，GH=AD，
∴四邊形AGHD是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形AGHD是菱形．
分析：（1）通過證明四邊形AMND中的一組對邊AD和MN平行且相等即可；
（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，先根據平行四邊形的判定定理一組對邊平行且相等（GH∥AD，GH=AD）證明出四邊形AGHD是平行四邊形，又AC⊥BD，即可判斷出四邊形AGHD是菱形．
點評：本題考查了梯形的知識，及平行四邊形和菱形的判定，難度適中，要求熟練掌握這些知識以便靈活運用．