Question

18．如圖，AC是正方形ABCD的對角線．點E為射線CB上一個動點（點E不與點C，B重合），連接AE，點F在直線AC上，且EF=AE．

（1）點E在線段CB上，如圖1所示；
①若∠BAE=10°，求∠CEF的度數；
②用等式表示線段CD，CE，CF之間的數量關系，并證明．
（2）如圖2，點E在線段CB的延長線上；請你依題意補全圖2，并直接寫出線段CD，CE，CF之間的數量關系．

Answer 1

分析 （1）①利用正方形的性質結合三角形外角的性質得出∠1=∠F+∠CEF，進而得出答案；
②利用正方形的性質結合全等三角形的判定方法得出△AEM≌△FEC（AAS），進而得出線段CD，CE，CF之間的數量關系；
（2）利用正方形的性質結合全等三角形的判定方法得出：△ABE≌△EMF（AAS），進而得出線段CD，CE，CF之間的數量關系．

解答 （1）①解：如圖1所示，
∵AC是正方形ABCD的對角線，
∴∠BAC=∠1=45°．
∵∠BAE=10°，
∴∠2=35°．
∵EF=AE，
∴∠F=∠2=35°，
∵∠1是△CEF的外角，
∴∠1=∠F+∠CEF．
∴45°=35°+∠CEF．
∴∠CEF=10°．

②線段CD，CE，CF之間的數量關系是：$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．
證明：∵∠BAE+∠2=45°，∠CEF+∠F=45°，
∴∠BAE=∠CEF．
方法一：如圖2，過點E作ME⊥BC交AC于點M．
∵ME⊥BC，
∴AB∥ME，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠1=∠BAC=45°，
則∠EMC=45°，
故∠AME=∠ECF=135°，
∵AE=EF，
∴∠2=∠F，
在△AEM和△FEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMA=∠ECF}\\{∠2=∠F}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△FEC（AAS），
∴AM=FC．
∴FM=AC=$\sqrt{2}$CD．
∵FM=MC+CF，
∴MC+CF=$\sqrt{2}$CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

方法二：如圖3，在AB上取點M，使AM=EC．
由方法一同理可得：△AEM≌△FEC，
∴FC=EM=$\sqrt{2}$BE．
∴EB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+CE=CB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+CE=CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

方法三：圖4，延長BC，過點F作MF⊥BC，交BC的延長線于點M．
由方法一同理可得：△ABE≌△EMF，
∴BE=MF．
∵MF=CM，
∴BE=MF=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+CE=CB，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+CE=CD．
∴$\sqrt{2}$CE+CF=$\sqrt{2}$CD．

（2）解：如圖5所示：線段CD，CE，CF之間的數量關系是：$\sqrt{2}$CD+CF=$\sqrt{2}$CE．
理由：過點F作FM⊥BC于點M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
∵AE=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠FEC+∠ECF=∠EFA，
∠EAB+∠BAC=∠EAF，
∴∠FEC+45°=45°+∠EAB，
∴∠FEC=∠EAB，
在△ABE和△EMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBA=∠FME}\\{∠BAE=∠MEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△EMF（AAS），
∴BE=FM，
∵MF=CM，
∴BE=MF=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF．
∵EB+BC=CE，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF+DC=CE．
∴$\sqrt{2}$CD+CF=$\sqrt{2}$CE．

點評 此題主要考查了四邊形綜合以及全等三角形的判定與性質和正方形的性質等知識，正確作出輔助線得出全等三角形是解題關鍵．