Question

19、在三邊長為自然數、周長不超過100、最長邊與最短邊之差不大于2的三角形中，互不全等的三角形共有

190

個．

Answer 1

分析：設三邊長為a、b、c滿足a≤b≤c，根據最長邊與最短邊之差不大于2，得出最長邊與最短邊之差等于0、1或2，（1）當差為0時，有a=n，b=n，c=n；（2）當差為1時，有①a=n，b=n，c=n+1；②a=n，b=n+1，c=n+1；（2）當差為2時，有①a=n，b=n，c=n+2；②a=n，b=n+1，c=n+2；③a=n，b=n+2，c=n+2；從而將各種情況下符合條件的n的值相加可得出結果．

解答：解：設三邊長為a、b、c滿足a≤b≤c，
∵最長邊與最短邊之差不大于2，
∴最長邊與最短邊之差等于0、1或2，
（1）當差為0時，有a=n，b=n，c=n，
此時a+b+c=3n≤100，n可取1，2，…33，共33種方法；
（2）當差為1時，①a=n，b=n，c=n+1；
此時a+b+c=3n+1≤100，n可取2，…33，共32種方法；
②a=n，b=n+1，c=n+1，
此時a+b+c=3n+2≤100，n可取1，2，…32，共32種方法；
（2）當差為2時，有①a=n，b=n，c=n+2，
此時a+b+c=3n+2≤100，n可取3，4，…32，共30種方法；
②a=n，b=n+1，c=n+2；
此時a+b+c=3n+3≤100，n可取2，…32，共31種方法；
③a=n，b=n+2，c=n+2，
此時a+b+c=3n+4≤100，n可取1，2，…32，共32種方法；
綜上可得一共可以構成33+32+32+30+31+32=190個．
故答案為：190．

點評：本題考查了三角形的三邊關系，從頭至尾貫穿了分類討論的思想，解答本題的關鍵點在于得出最長邊與最短邊之差等于0、1或2，然后根據最長邊與最短邊的差設置三邊長，注意一定要兼顧兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，否則會造成多解．