Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠A＜90°，CD、BE分別為△ABC的中線，AF⊥CD，AG⊥BE，分別交CD、BE的延長線于F、G兩點，試問：
（1）AF與AG相等嗎？為什么？
（2）當∠A=90°時，其余條件不變，猜想AF

 

AG（用＞，=，＜填空）．
（3）當∠A＞90°時，其余條件不變，猜想AF

 

AG（用＞，=，＜填空）．
（4）通過本題，你可以得到怎樣的結論？請用文字敘述．

Answer 1

分析：（1）根據AB=AC，CD、BE分別為△ABC的中線，利用SAS求證△ADC≌△AEB．再利用AAS求證△ACF≌△ABG即可．
（2）由（1）可得當∠A=90°時，其余條件不變，猜想正確．
（3）由（1）可得當∠A=90°時，其余條件不變，猜想正確，
（4）由前3個猜想成立．可得出結論等腰三角形的頂點到兩腰中線所在的直線的距離相等．

解答：解：（1）AF=AG．理由如下：
∵AB=AC，CD、BE分別為△ABC的中線，
∴AD=AE．在△ADC和△AEB中，

AD=AE ∠DAC=∠EAB AC=AB

∴△ADC≌△AEB．
∴∠ACD=∠ABE．
又∵∠AFC=∠AGB=90°，AC=AB，
∴△ACF≌△ABG．
∴AF=AG．
（2）同理可得AF=AG
（3）同理可得AF=AG
（4）等腰三角形的頂點到兩腰中線所在的直線的距離相等．

點評：此題主要考查等腰三角形的性質和全等三角形的判定與性質等知識點，難度不大，但步驟繁瑣，屬于基礎題．