Question

如圖，以等腰△ABC的一腰AB上的點O為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，⊙O交底邊BC于點D．過D作⊙O的切線DE，交AC于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若AB=BC=CA=2，問圓心O與點A的距離為多少時，⊙O與AC相切？

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由切線性質(zhì)求出OD⊥DE，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出∠B=∠ODB=∠C，推出OD∥AC，即可求出DE⊥AC．
（2）作OF⊥AC于F，設(shè)AF=x，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，根據(jù)OA+OB=AB得出x+2x=2，求出x即可．
解答：（1）證明：連接OD，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥OD，
∴DE⊥AC．       
              
（2）解：過O作OF⊥AC于F，設(shè)AF=x，
∵△ABC為等邊三角形，
∴在Rt△AOF中∠A=60°，OF=x=OB，OA=2x，
由OA+OB=AB得：x+2x=2，
解得：x=4-2，
∴OA=2x=8-4，
答：圓心O與點A的距離為8-4時，⊙O與AC相切．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力和計算能力，題型較好，綜合性比較強．