Question

（2012•孝感模擬）如圖，以等腰△ABC的一腰AB上的點O為圓心，以OB為半徑作圓，⊙O交底邊BC于點D．過D作⊙O的切線DE，交AC于點E．
（1）求證：DE⊥AC；
（2）若AB=BC=CA=2，問圓心O與點A的距離為多少時，⊙O與AC相切？

Answer 1

分析：（1）連接OD，由切線性質求出OD⊥DE，根據等腰三角形性質求出∠B=∠ODB=∠C，推出OD∥AC，即可求出DE⊥AC．
（2）作OF⊥AC于F，設AF=x，根據等邊三角形的性質求出∠A=60°，OF=

3

x=OB，OA=2x，根據OA+OB=AB得出

3

x+2x=2，求出x即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵DE切⊙O于D，
∴OD⊥DE
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
又AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
又∵DE⊥OD，
∴DE⊥AC．       
              
（2）解：過O作OF⊥AC于F，設AF=x，
∵△ABC為等邊三角形，
∴在Rt△AOF中∠A=60°，OF=

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x=OB，OA=2x，
由OA+OB=AB得：

3

x+2x=2，
解得：x=4-2

3

，
∴OA=2x=8-4

3

，
答：圓心O與點A的距離為8-4

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時，⊙O與AC相切．

點評：本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質和判定，等邊三角形的性質，平行線的性質的應用，通過做此題培養了學生的推理能力和計算能力，題型較好，綜合性比較強．