Question

如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三點在同一直線上，連接BD，AE，并延長AE交BD于F．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）直線AE與BD互相垂直嗎？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據SAS判定△ACE≌△BCD，從而得到∠EAC=∠DBC，根據角之間的關系可證得AF⊥BD．
（2）互相垂直，只要證明∠AFD=90°，從而轉化為證明∠EAC+∠CDB=90即可．
解答：（1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACE=∠BCD=90°，
在△ACE和△BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）解：直線AE與BD互相垂直，理由為：
證明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
又∵∠DBC+∠CDB=90°，
∴∠EAC+∠CDB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AF⊥BD，
即直線AE與BD互相垂直．
點評：此題主要考查學生對全等三角形的判定及直角三角形的判定的掌握情況．