Question

如圖，△ACB和△ECD中，AC=BC，CE=CD，BC⊥AD，A、C、D三點在同一直線上，連接BD、AE，并延長交BD于F．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）直線AF與BD有怎樣的位置關系？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由全等三角形的判定定理SAS證得結論；
（2）由△ACE≌△BCD推出∠EAC=∠DBC，根據三角形的內角和定理求出∠EAC+∠AEC=90°，求出∠DBC+∠BEF=90°，根據三角形的內角和定理求出∠BFE=90°，根據垂直定義推出即可．

解答：（1）證明：如圖，∵BC⊥AD，
∴∠ACE=∠BCD=90°，
∴在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；

（2）解：直線AF與BD垂直．理由如下：
∵由（1）知，△ACE≌△BCD，
∴∠EAC=∠DBC，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠AEC=90°，
∵∠AEC=∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF=90°，
∴∠BFE=180°-90°=90°，
∴AF⊥BD．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，對頂角相等，垂直定義等知識點的綜合運用，關鍵是推出∠BFE=90°，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應角相等．