Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，若∠A=40°．
（1）求∠NMB的度數(shù)；
（2）如果將（1）中∠A的度數(shù)改為70°，其余條件不變，再求∠NMB的度數(shù)；
（3）你發(fā)現(xiàn)有什么樣的規(guī)律性，試證明之．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ABC的度數(shù)，又由AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，即可求得答案；
（2）由在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可求得∠ABC的度數(shù)，又由AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，即可求得答案；
（3）由在△ABC中，AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可用∠A表示出∠ABC，又由AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，即可求得答案．

解答：解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∴MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=20°；

（2）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=70°，
∴∠ABC=∠ACB=55°，
∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∴MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=35°；

（3）∠NMB=

1

2

∠A．
理由：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-∠A

2

，
∵AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
∴MN⊥AB，
∴∠NMB=90°-∠ABC=

1

2

∠A．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．