Question

某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖（1）所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖（2）所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH．
（1）判斷圖（2）中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；
（2）E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？

Answer 1

解：（1）四邊形EFGH是正方形．
圖（2）可以看作是由四塊圖（1）所示地磚繞C點按順（逆）時針方向旋轉90°后得到的， 故CE=CF=CG．∴△CEF是等腰直角三角形．∴四邊形EFGH是正方形．
（2）設CE=x，則BE=0.4﹣x，每塊地磚的費用為y，
那么y=x^2×30+×0.4×（0.4﹣x）×20+[0.16﹣x²﹣×0.4×（0.4﹣x）]×10=10（x²﹣0.2x+0.24）=10[（x﹣0.1）²+0.23]（0＜x＜0.4）．
當x=0.1時，y有最小值，即費用為最省，
此時CE=CF=0.1．
當CE=CF=0.1米時，總費用最省．