Question

如圖所示，⊙O的半徑為2，銳角△ABC內(nèi)接于⊙O，BD⊥AC于點(diǎn)D，OM⊥AB于點(diǎn)M，且sin∠CBD=，則OM=（ ）

A．
B．
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，則∠ABE=90°，由于BD⊥AC，所以∠BDC=90°，由于∠AEB=∠ACB，所以∠BAE=∠CBD，故sin∠BAE==sin∠CBD=，故可求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)O是AE的中點(diǎn)，OM⊥AM可知OM是△ABE的中位線，故OM=BE，故可得出結(jié)論．
解答：解：連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E，連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，⊙O的半徑為2，
∴∠ABE=90°，AE=4，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∵∠AEB=∠ACB，
∴∠BAE=∠CBD，
∴sin∠BAE==sin∠CBD==，解得BE=1，
∵O是AE的中點(diǎn)，OM⊥AM，
∴OM是△ABE的中位線，
∴OM=BE=．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓周角定理及三角形的中位線定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．