Question

已知：AB是⊙O的弦，OD⊥AB于M交⊙O于點D，CB⊥AB交AD的延長線于C．
（1）求證：AD=DC；
（2）過D作⊙O的切線交BC于E，若DE=2，CE=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求AD=DC，已知條件中可以推出兩組平行線，根據平行線等分線段定理可以推出結論．
（2）連接O、D兩點，構建直角三角形OBD，根據平行線等分線段定理、矩形DEBM求出MB、DE的長度，根據勾股定理，求出半徑OB．
解答：（1）∵AB是⊙O的弦，半徑OD⊥AB，CB⊥AB，
∴AM=BM，OD∥BC
∴AD=DC．

（2）連接O、B兩點
∵⊙O的切線交BC于E，
∴OD⊥DE，
又∵OD⊥AB，
∴AB∥DE，
∵OD∥BC，OD⊥DE
∴四邊形MDEB為矩形，
∵AD=DC，EC=1，DE=2，
∴EC=BE=MD=1，DE=MB=2，
∴在Rt△BOM中，OB²=OM²+MB²=（OB-MD）²+MB²，即OB²=（OB-1）²+2²，
∴OB=2.5
∴⊙O的半徑為2.5．
點評：本題考查了圓的切線性質，解直角三角形的有關知識點以及平行線的性質．運用切線的性質、垂徑定理來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．