Question

如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬為12米，拱頂高出水面4米．
（1）求這座拱橋所在圓的半徑．
（2）現有一艘寬5米，船艙頂部為正方形并高出水面3.6米的貨船要經過這里，此時貨船能順利通過這座拱橋嗎？請說明理由．

Answer 1

解：（1）連接OA，
根據題意得：CD=4米，AB=12米，
則AD=AB=6（米），
設這座拱橋所在圓的半徑為x米，
則OA=OC=x米，OD=OC-CD=（x-4）米，
在Rt△AOD中，OA²=OD²+AD²，
則x²=（x-4）²+6²，
解得：x=6.5，
故這座拱橋所在圓的半徑為6.5米．

（2）貨船不能順利通過這座拱橋．理由：
連接OM，
設MN=5米，
∵OC⊥MN，
∴MH=MN=2.5（米），
在Rt△OMH中，OH==6（米），
∵OD=OC-CD=6.5-4=2.5（米）
∵OH-OD=6-2.5=3.5（米）＜3.6米，
∴貨船不能順利通過這座拱橋．
分析：（1）首先連接OA，設這座拱橋所在圓的半徑為x米，由垂徑定理，易得方程：x²=（x-4）²+6²，解此方程即可求得答案；
（2）連接OM，設MN=5米，可求得此時OH的高，即可求得OH-OD的長，比較3.6米，即可得到此時貨船能否順利通過這座拱橋．
點評：此題考查了垂徑定理的應用．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．