Question

【題目】如圖1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，點D是AC邊上一點，過D作DE⊥AB于點E，連接BD，點F是BD中點，連接EF，CF．

（1）發現問題：線段EF，CF之間的數量關系為_____；∠EFC的度數為_____；

（2）拓展與探究：若將△AED繞點A按順時針方向旋轉α角（0°＜α＜30°），如圖2所示，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；

（3）拓展與運用：如圖3所示，若△AED繞點A旋轉的過程中，當點D落到AB邊上時，AB邊上另有一點G，AD＝DG＝GB，BC＝3，連接EG，請直接寫出EG的長度．

Answer 1

【答案】（1）EF＝CF，120°；（2）結論成立，見解析；（3）EG＝.

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊中線定理及三角形外角性質解決問題即可；（2）結論成立．如圖2中，取AB的中點M，AD的中點N，連接MC，MF，ED，EN，FN．想辦法證明△MFC≌△NEF（SAS），可得結論；（3）如圖3中，作EH⊥AB于H．想辦法求出EH，HG即可解決問題．

（1）如圖1中，

∵DE⊥AB，

∴∠BED＝90°，

∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∠A=30°，

∴FE＝FB＝FD＝CF，∠ABC=60°，

∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，

∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，

故答案為：EF＝CF，120°．

（2）結論成立．

理由：如圖2中，取AB的中點M，AD的中點N，連接MC，MF，ED，EN，FN．

∵BM＝MA，BF＝FD，

∴MF∥AD，MF＝AD，

∵AN＝ND，

∴MF＝AN，MF∥AN，

∴四邊形MFNA是平行四邊形，

∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，

在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，

∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，

在△AEN和△ACM中，

∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，

∵∠MAC＝∠EAN，

∴∠AMC＝∠ANE，

又∵∠FMA＝∠ANF，

∴∠ENF＝∠FMC，

在△MFC和△NEF中，，

∴△MFC≌△NEF（SAS），

∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，

∵NF∥AB，

∴∠NFD＝∠ABD，

∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，

∴∠ABC＝60°，△BMC是等邊三角形，∠MCB＝60°

∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．

（3）如圖3中，作EH⊥AB于H．

在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，

∴AB＝2BC＝6，

在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，

∴DE＝AD＝1，

在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，

∴EH＝EDsin60°＝，

DH＝EDcos60°＝，

在Rt△EHG中，EG＝＝．