Question

（1999•武漢）如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是過圓心O的割線，PA=10cm，PB=5cm，則弦AC的長是（ ）cm．

A．15
B．10
C．3
D．6

Answer 1

【答案】分析：連接AB，利用切割線定理先求出PC，進而求出BC；在Rt△ABC中，利用勾股定理有BC²=AC²+AB²①；再利用弦切角定理，可知∠PAB=∠BAC，再加上一組公共角，可證△PAB∽△PCA，那么就有PC：AC=PA：AB②；兩式聯合可求AC．
解答：解：連接AB，根據切割線定理有，
PA²=PB•PC，
∴10²=5×（5+BC），
解得BC=15，
又∵∠PAB=∠PCA，∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
∴PA：AB=PC：AC，
∴10：AB=20：AC①；
∵BC是直徑，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB²+AC²=15²②；
①②聯立解得AC=6．
故選D．
點評：本題利用了切割線定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性質、勾股定理等知識．