Question

一個等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長是關于x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根，求此三角形的周長．

Answer 1

【答案】分析：由于一個等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長是關于x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根，有兩種情況：
①當腰長為4時，直接把x=4代入原方程即可求出m的值，然后求出方程的另一根，也就可以求出三角形的周長；
②當底邊為4時，那么x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根是相等的，利用判別式為0即可求出m的值，然后就可以求出方程的解，也就可以求出三角形的周長．
解答：解：∵一個等腰三角形的一邊長為4，另兩邊長是關于x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根，
①當腰長為4時，把x=4代入原方程得
16+8m+1-2m=0，
∴m=-，
∴原方程變為：x²-x+=0，
設方程的另一個根為x，
則4+x=，
∴x=，
∴三角形的周長為：4+4+=；
②當底邊為4時，那么x的方程x²+2mx+1-2m=0的兩根是相等的，
∴△=（2m）²-4（1-2m）=0，
∴m=-1+或m=-1-，
但是m=-1-時方程的根為負數，而方程的根是線段長度，不能為負，
∴m=-1+，
∴方程變為x²+2（-1-）x+1-2（-1+）=0，
∴方程的兩根相等為x₁=x₂=+1，
∴三角形的周長為4+2（+1）=6+2．
點評：此題主要考查了一元二次方程的解的定義和等腰三角形的性質，解題的關鍵是利用等腰三角形的性質得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解決問題．