Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，延長BA到點D，使AD=AB，點E、F分別為邊BC、AC的中點．
（1）求證：DF=BE；
（2）過點A作AG∥BC，交DF于點G，求證：AG=DG．

Answer 1

證明：（1）如圖，過點F作FH∥BC，交AB于點H，
∵FH∥BC，點F是AC的中點，點E是BC的中點，
∴AH=BH=AB，EF∥AB．
∵AD=AB，
∴AD=AH．
∵CA⊥AB，
∴CA是DH的中垂線．
∴DF=FH．
∵FH∥BC，EF∥AB，
∴四邊形HFEB是平行四邊形．
∴FH=BE．
∴BE=FD．

（2）由（1）知BE=FD，
又∵EF∥AD，
∴四邊形DBEF是等腰梯形．
∴∠B=∠D．
∵AG∥BC，∠B=∠DAG，
∴∠D=∠DAG．
∴AG=DG．
分析：（1）過點F作FH∥BC，交AB于點H，則四邊形HAEF是平行四邊形，有HF=BE，證得AC是HD的中垂線后得到HF=FD，故有FD=BE；
（2）由于四邊形DAEF是等腰梯形，有∠B=∠D，而AG∥BC有∠B=∠DAG，故有∠D=∠DAG?AG=DG．
點評：本題利用了三角形的中位線的性質，中垂線的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，等邊對等角求解．