Question

已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D點在邊BC上，BF⊥AC分別交射線DA、射線CA于點E、F，若BD=4，∠BAD=45°．
（1）如圖：若∠BAC是銳角，則點F在邊AC上，
①求證：△BDE≌△ADC；
②若DC=3，求AE的長；
（2）若∠BAC是鈍角，AE=1，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）①首先根據已知得出∠EBD=∠DAC，進而利用ASA得出△BDE≌△ADC；
②利用△BDE≌△ADC，得出DC=DE，進而得出AE=AD-DE即可；
（2）根據已知得出DC=DE，進而利用勾股定理求出AC的長即可．

解答：（1）①證明：∵AD⊥BC∠BAD=45°，
∴∠ABD=∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠DAC=90°，
同理：∠C+∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠DAC，
在△BDE和△ADC中

∠BDE=∠ADC=90°(已知) BD=AD(已證) ∠EBD=∠DAC(已證)

，
∴△BDE≌△ADC（ASA），

②解：∵△BDE≌△ADC，
∴DC=DE，
∵DC=3，BD=AD=4，
∴AE=AD-DE=1；

（2）如備用圖
同理：DC=DE，
BD=AD=4，AE=1，
DC=DE=AD+AE=5，
在Rt△ADC中，
則AC²=AD²+DC²，
∴AC=

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．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，根據已知得出∠EBD=∠DAC是解題關鍵．