Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高，求證：AD垂直平分EF．

Answer 1

【答案】分析：根據三角形的角平分線的性質定理和垂直平分線的性質定理解答．
解答：證明：設AD、EF的交點為K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
∴D在線段EF的垂直平分線上．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
又∵∠EAD=∠FAD，AK=AK，
∴△AEK≌△AFK，
∴EK=KF，∠AKE=∠AKF=90°，
∴AD是線段EF的垂直平分線．
∴EF⊥AD．
點評：找到Rt△AED和Rt△ADF，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關系，即可證明．