Question

如圖，△AOB中，OA=OB，以O為圓心的圓經過△AOB的邊AB的中點C，與OB相交于點D．
（1）求證：⊙O與AB相切．
（2）若⊙O的半徑為1，OD=BD，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切線；
（2）根據三角函數公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因為OA=OB，從而得出∠AOB=120°，由三角形面積及扇形面積可求出陰影部分面積．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切線．

（2）解：過B點作BF⊥AO，交AO的延長線于F點．
∵BF⊥AF，OF=OD，DO=BD，
∴∠FBO=30°，
∴∠FOB=60°，
∵AO=BO，
∴∠A=∠ABO=30°，
∴由題意有AB=2BF，
∵BF=

3

∴AB=2

3

，
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120°，
∴S_陰影=

1

2

（S_△OAB-S_扇形0ED）=

1

2

（2

3

×1÷2-

120π×12

360

）=

3

2

-

π

6

．

點評：此題考查了切線的判定以及扇形的面積求法，學生靈活的對切線的判定弧長公式及解直角三角形的綜合運用是解題關鍵．