Question

（2005•嘉興）已知函數y=x²-4x+1
（1）求函數的最小值；
（2）在給定坐標系中，畫出函數的圖象；
（3）設函數圖象與x軸的交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

【答案】分析：畫拋物線的圖象，關鍵是抓住拋物線的開口方向，對稱軸，頂點，圖象與x軸，y軸的交點坐標，描出拋物線的大致圖象，其中，頂點也決定了函數的最大（小）值．同時，要明確方程的解，實質上是二次函數當y=0時，自變量的值，也就是圖象與x軸交點的橫坐標．
解答：解：（1）∵y=x²-4x+1=（x-2）²-3，
∴當x=2時，y_最小值=-3．

（2）如圖，圖象是一條開口向上的拋物線．對稱軸為x=2，頂點為（2，-3）．

（3）由題意，x₁，x₂是方程x²-4x+1=0的兩根，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1．
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4²-2=14．
點評：主要考查了二次函數的性質與一元二次方程之間的關系，這些性質和規律要求掌握．