Question

如圖，半徑為2的⊙O內有互相垂直的兩條弦AB、CD相交于P點．
（1）求證：PA•PB=PC•PD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，BC，易證Rt△APD∽Rt△CPB，根據相似三角形的性質，可以證得．
（2）先求出OM，ON，進而證得四邊形OMPN是矩形，所以OP=PM，利用勾股定理可以求出OP．
解答：解：（1）連接AD，BC，
∵∠A、∠C所對的圓弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴，
∴PA•PB=PC•PD；

（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OP，OB，OD，
由垂徑定理得：OM²=（2）²-4²=4，ON²=（2）²-3²=11，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四邊形MONP是矩形，
∴OP=．
點評：本題給出了圓中的兩條相交弦，解決與弦有關的問題時，往往需構造以半徑、弦心距和弦長的一半為三邊的直角三角形，若設圓的半徑為r，弦長為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r²=d²+（）²成立，知道這三個量中的任意兩個，就可以求出另外一個．