Question

【題目】如圖，已知PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．C是⊙O上一個(gè)動點(diǎn)．且不與A，B重合．若∠PAC＝α，∠ABC＝β，則α與β的關(guān)系是_______．

Answer 1

【答案】或

【解析】

分點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上和劣弧AB上兩種情況討論，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAC的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理得到∠AOC的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理得出α與β的關(guān)系.

解：當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上時(shí)，如圖，

連接OA、OB、OC，

∵PA是⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∴∠OAC=α-90°=∠OCA，

∵∠AOC=2∠ABC=2β，

∴2（α-90°）+2β=180°，

∴；

當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上時(shí)，如圖，

∵PA是⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∴∠OAC= 90°-α=∠OCA，

∵∠AOC=2∠ABC=2β，

∴2（90°-α）+2β=180°，

∴.

綜上：α與β的關(guān)系是或.

故答案為：或.