Question

如圖，直線y=

3

4

x+6與x軸、y軸分別相交于點E、F，點A的坐標為（-6，0），P（x，y）是直線y=

3

4

x+6上一個動點．
（1）在點P運動過程中，試寫出△OPA的面積s與x的函數關系式；
（2）當P運動到什么位置，△OPA的面積為

27

8

，求出此時點P的坐標；
（3）過P作EF的垂線分別交x軸、y軸于C、D．是否存在這樣的點P，使△COD≌△FOE？若存在，直接寫出此時點P的坐標（不要求寫解答過程）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出P的坐標，當P在第一、二象限時，根據三角形的面積公式求出面積即可；當P在第三象限時，根據三角形的面積公式求出解析式即可；
（2）把s的值代入解析式，求出即可；
（3）根據全等求出OC、OD的值，如圖①所示，求出C、D的坐標，設直線CD的解析式是y=kx+b，把C（-6，0），D（0，-8）代入，求出直線CD的解析式，再求出直線CD和直線y=

3

4

x+6的交點坐標即可；如圖②所示，求出C、D的坐標，求出直線CD的解析式，再求出直線CD和直線y=

3

4

x+6的交點坐標即可．

解答：解：（1）∵P（x，y）代入y=

3

4

x+6得：y=

3

4

x+6，
∴P（x，

3

4

x+6），
當P在第一、二象限時，△OPA的面積是s=

1

2

OA×y=

1

2

×|-6|×（

3

4

x+6）=

9

4

x+18（x＞-8）
當P在第三象限時，△OPA的面積是s=

1

2

OA×（-y）=-

9

4

x-18（x＜-8）
答：在點P運動過程中，△OPA的面積s與x的函數關系式是s=

9

4

x+18（x＞-8）或s=-

9

4

x-18（x＜-8）．

解：（2）把s=

27

8

代入得：

27

8

=

9

4

x+18或

27

8

=-

9

4

x-18，
解得：x=-6.5或x=-9.5，
x=-6.5時，y=

9

8

，
x=-9.5時，y=-1.125，
∴P點的坐標是（-6.5，

9

8

）或（-9.5，-1.125）．

（3）解：假設存在P點，使△COD≌△FOE，
①如圖所示：P的坐標是（-

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25

，

24

25

）；
②如圖所示：
P的坐標是（

24

25

，

168

25

）
存在P點，使△COD≌△FOE，P的坐標是（-

168

25

，

24

25

）或（

24

25

，

168

25

）．

點評：本題綜合考查了三角形的面積，解二元一次方程組，全等三角形的性質和判定，用待定系數法求一次函數的解析式等知識點，此題綜合性比較強，用的數學思想是分類討論思想和數形結合思想，難度較大，對學生有較高的要求．