Question

如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC邊上的中點，N是AB邊上的點（不與端點重合），M是OB邊上的點，且MN∥AO，延長CA與直線MN相交于點D，G點是AB延長線上的點，且BG=AN，連接MG，設AN=x，BM=y．
（1）求y關于x的函數關系式及其定義域；
（2）連接CN，當以DN為半徑的⊙D和以MG為半徑的⊙M外切時，求∠ACN的正切值；
（3）當△ADN與△MBG相似時，求AN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）證△BMN∽△BOA，推出=，由勾股定理求出BC=3，BO=，根據AN=x，BM=y，代入求出即可；
（2）求出MG=MN，根據等腰三角形性質求出∠AND=∠G，∠DAN=∠MBG，根據AAS證△AND≌△BGM，推出DN=MG=MN，求出tan∠CAO==，根據平行線性質求出∠CAO=∠ACN，即可求出答案；
（3）分為兩種情況：①若∠D=∠BMG時，過點G作GE⊥CB，垂足為點E，求出tan∠BMG==，根據∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，推出BM=BE，根據勾股定理得出y=x，與（1）得出關系式組成方程組，即可求出x；②若∠D=∠G時，過點M作MF⊥AB，垂足為點F，tan∠G=，求出x=y，同樣得出方程組，求出x即可．
解答：（1）解：∵MN∥AO，
∴△BMN∽△BOA，
∴=，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=6，
∴由勾股定理得：BC=3，
∵O是BC邊上的中點，
∴BO=，
∵AN=x，BM=y，
∴=，
∴y=（0＜x＜6）；

（2）解：
∵以DN為半徑的⊙D和以MG為半徑的⊙M外切，
∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM，
∴MG=MN，
∴∠MNG=∠G，
又∵∠MNG=∠AND，
∴∠AND=∠G，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠DAN=∠MBG，
又∵AN=BG，
∴△AND≌△BGM，
∴DN=MG=MN，
∵∠ACB=90°，
∴CN=DN，
∴∠ACN=∠D，
∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC邊上的中點，
∴tan∠CAO==，
∵MN∥AO，
∴∠CAO=∠D，
∴∠CAO=∠ACN，
∴tan∠ACN=；

（3）解：∵∠DAN=∠MBG，當△ADN與△MBG相似時，分為兩種情況：
①若∠D=∠BMG時，過點G作GE⊥CB，垂足為點E，
tan∠BMG==，
∵∠ACB=90°，GE⊥BC，
∴AC∥GE，
∴∠BGE=∠CAB=45°，
∵∠ABC=∠GBE=45°，
∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，
∴BE=EG，
∴BM=BE，
∴由勾股定理得：y=x，
∵由（1）知：y=，
∴解得：x=2；
②若∠D=∠G時，過點M作MF⊥AB，垂足為點F，
∴tan∠G==，
∴FG=2MF，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠MBF=∠CAB=45°，
∵∠MFB=90°，
∴∠FMB=∠MBF=45°，
∴BF=MF，
∵FG=2MF=BF+BG，
∴BF=BG，
∴x=y，
由（1）知：y=，
∴解得：x=；
綜上所述，當△ADN與△MBG相似時，AN的長為2或．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質，等腰三角形的性質，等腰直角三角形，勾股定理等知識點的運用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，題目綜合性比較強，難度偏大，分類討論思想的運用．