Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，點O是BC的中點，以O為圓心的⊙O與AB邊相切于點D．

（1）判斷AC邊與⊙O的位置關系，說明理由；

（2）如圖2，若AB=5，BC=6，點F為⊙O上一動點，過點F作⊙O的切線分別交AD邊、AC邊于點G、H，連結OG、OH．

①設∠BAC=α，則∠GOH=　　　　　　（用含α的代數式表示）；

②若△OGH是以GH為腰的等腰三角形，求BG的長．

Answer 1

【考點】圓的綜合題．

【專題】綜合題．

【分析】（1）作OE⊥AC于E，連結OA、OD，如圖1，先利用切線的性質得OD⊥AB，再根據等腰三角形的性質，由AB=AC，點O是BC的中點得到AO平分∠BAC，則利用角平分線的性質得到OE=OD，于是可根據切線的判定方法得到AC為⊙O的切線；

（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，連結OF、OD，如圖2，由切線的性質得OF⊥GH，由切線長定理得GD=GF，HF=HE，于是可根據角平分線定理的逆定理得∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，則∠GOH=∠DOE，再由四邊形內角和得到∠DOE+∠A=180°，所以∠GOEH=90°﹣α；

②在圖1中，AB=5，OB=OC=BC=3，利用勾股定理和面積法先計算出OA=5，OD=，BD=，BM=，AM=，接著分類討論：當GH=GO時，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，則∠OGH=α，于是可判斷Rt△OGF∽Rt△BAM，利用相似比可計算出GF=，則DG=GF=，所以BG=BD+DG=；當GH=OH時，同樣可證明Rt△OHF∽Rt△BAM，利用相似比可計算出FH=，OH=，則GH=OH=，所以GF=GH﹣FH==DG，則BG=BD+DG=．

【解答】解：（1）AC邊與⊙O相切．理由如下：

作OE⊥AC于E，連結OA、OD，如圖1，

∵以O為圓心的⊙O與AB邊相切于點D，

∴OD⊥AB，

∵AB=AC，點O是BC的中點，

∴AO平分∠BAC，

∴OE=OD，

∴AC為⊙O的切線；

（2）①作OE⊥AC于E，BM⊥AC于M，連結OF、OD，如圖2，

∵GH為⊙O的切線，

∴OF⊥GH，

∵AB和AC為⊙O的切線，

∴GD=GF，HF=HE，

∴∠DOG=∠FOG，∠EOH=∠FOH，

∴∠GOH=∠DOE，

∵∠DOE+∠A=180°，

∴∠GOEH=（180°﹣α）=90°﹣α，

故答案為90°﹣α；

②在圖1中，AB=5，OB=OC=BC=3，則OA==5，

∵OD•AB=OB•OA，

∴OD==，

在Rt△BOD中，BD===，

在圖2中，

∵BM•AC=BC•OA，

∴BM==，

在Rt△ABM中，AM===，

當GH=GO時，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，

∴∠OGH=180°﹣2（90°﹣α）=α，

∴Rt△OGF∽Rt△BAM，

∴=，即=，解得GF=，

∴DG=GF=，

∴BG=BD+DG=+=；

當GH=OH時，∠GHO=∠GOH=90°﹣α，則∠OHG=α，

∴Rt△OHF∽Rt△BAM，

∴==，即==，解得FH=，OH=

∴GH=OH=，

∴GF=GH﹣FH=﹣=，

∴DG=GF=，

∴BG=BD+DG=+=，

綜上所述，BG的長為或．

【點評】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓的切線的判定與性質、切線長定理和等腰三角形的性質；會利用相似比和勾股定理計算線段的長；會運用分類討論的思想解決數學問題．