Question

一個工人師傅要將一個正方形ABCD（四個角都是直角，四邊都相等，邊長為a）的余料，修剪成如四邊形ABEF的零件．其中，F是CD的中點．
（1）試用含a的代數式表示AF²+EF²的值；
（2）連接AE，則△AEF是直角三角形嗎？為什么？

Answer 1

解：（1）連接AE，
則AB=a，BE=a，
∵∠B=90°
∴AE²=；
∵CE：CF=DF：AD=1：2，
∠C=∠D=90°；
∴△ADF∽△FCE，
∴∠CFE+∠AFD=90°
∴∠AFE=90°
∴AF²+EF²=AE²=；

（2）由（1）中AF²+EF²=AE²，
可知△AEF是直角三角形．
分析：先連接AE，證明△ADF∽△FCE，得到∠AFE=90°，所以AF²+EF²=AE²=．
點評：主要考查了正方形的性質和直角三角形的判定．注意正方形是特殊條件最多的特殊平行四邊形．要掌握正方形的性質和勾股定理的逆定理才會靈活運用．