Question

【題目】如圖，是半圓的直徑，．射線為半圓的切線．在上取一點，連接交半圓于點，連接．過點作的垂線，垂足為點，與相交于點．過點作半圓的切線，切點為，與相交于點．

（1）求證：∽；

（2）當與的面積相等時，求的長；

（3）求證：當在上移動時（點除外），點始終是線段的中點．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BQ＝1；（3）證明見解析．

【解析】

（1）根據OE∥AC，得出∠BAC=∠FOB，進而得出∠BCA=∠FBO=90°，從而證明結論；
（2）根據△ACB∽△OBF得出△ABD∽△BFO，從而得出DQ∥AB，即可得出BQ=AD；
（3）首先得出AD=DP，QB=BQ，進而得出DQ2=QK2+DK2，得出BF=2BQ，即可得出Q為BF的中點．

解：（1）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，即：AC⊥BC，

又OE⊥BC，

∴OE∥AC，

∴∠BAC＝∠FOB，

∵BN是半圓的切線，

∴∠BCA＝∠FBO＝90°，

∴△ABC∽△OFB．

（2）連接OP，

由△ACB∽△OBF得，∠OFB＝∠DBA，∠BCA＝∠FBO＝90°，

∵AM、BN是⊙O的切線，

∴∠DAB＝∠OBF＝90°，

∴△ABD∽△BFO，

∴當△ABD與△BFO的面積相等時，△ABD≌△BFO，

∴AD＝OB＝1，

∵DP切圓O，DA切圓O，

∴DP＝DA，

∵△ABD≌△BFO，

∴DA＝BO＝PO＝DP，

又∵∠DAO＝∠DPO＝90°，

∴四邊形AOPD是正方形，

∴DQ∥AB，

∴四邊形ABQD是矩形，

∴BQ＝AD＝1；

（3）證明：由（2）知，△ABD∽△BFO，

∴＝，

∴BF＝＝＝，

∵DP是半圓O的切線，射線AM、BN為半圓O的切線，

∴AD＝DP，QB＝QP，

過Q點作AM的垂線QK，垂足為K，在Rt△DQK中，

DQ2＝QK2+DK2，

∴（AD+BQ）2＝（AD﹣BQ）2+22．

∴BQ＝，

∴BF＝2BQ，

∴Q為BF的中點．