Question

（2003•廣東）如圖：在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O為BC的中點．
（1）寫出點O到△ABC的三個頂點A、B、C距離之間的關系；
（2）如果點M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持AN=BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于△ABC是直角三角形，點O是BC的中點，根據直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故有OA=OB=OC=BC；
（2）由于OA是等腰直角三角形的斜邊上的中線，根據等腰直角三角形的性質知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS證得△AON≌△BOM可得：ON=OM  ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O為BC的中點，
∴OA=BC=OB=OC，
即OA=OB=OC；

（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
連接AO
∵AC=AB，OC=OB
∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，
在△AON與△BOM中

∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
點評：本題利用了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質求解．