Question

如圖，面積為39的直角梯形OABC的直角頂點C在軸上，點C坐標為，AB=，點D是AB邊上的一點，且AD：BD=2︰3．有一45°的角的頂點E在軸上運動，角的一邊過點D，角的另一邊與直線OA交于點F(點D、E、F按順時針排列),連結DF.設CE=，OF=.

（1）求點D的坐標及的度數；

（2）若點E在軸正半軸上運動，求與的函數關系式；

（3）在點E的運動過程中，是否存在某一時刻，使得△DEF成為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點F的坐標；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）  （2）(3) 存在，理由見解析

解析:（1）  （1個對2分；2個對3分）     …………………3分

（2）當E在OC上時，如圖，

 可得∽       ……………………………4分

∴  即…………5分

∴   ……………………6分

當E在C的右側上時，如圖，

可得∽

∴  即  ∴     ……………………7分

(3)當E在OC上時，如圖，

若EM=ED，則≌

∴

∴作于點N

∴

若DM=DE，則,如圖

作，則≌

∴

∴,

若MD=ME，則,如圖

過M作于點N交直線AB于點H，可得≌

設ON=，則MN=,MH=,DH=

由MN=DH得：=，    ∴

當E在C的右側時，如圖，

,,

 

∴不可能是等腰三角形

 

當E在O的左側時，如圖，

∴ 只能EM=ED，此時≌

∴

∴∴

綜合得：，，

，     …………………………12分

（第一個正確答案得2分，以后每對一個得1分）

（1）根據直角梯形的面積求得B點坐標，通過AD：BD=2︰3，求得點D的坐標，過A作OC的垂線，垂足為G,可求得AG=OG,從而得出的度數

（2）分兩種情況討論，當E在OC上時，當E在C的右側上時，通過相似三角形可求得與的函數關系式

(3)當E在OC上時，由三種可能：EM=ED、DM=DE、MD=ME；當E在C的右側時，不可能是等腰三角形，當E在O的左側時，只能EM=ED時，使得△DEF成為等腰三角形