Question

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠D=120°，對角線AC平分∠BCD，
（1）若AE∥DC，試說明四邊形AECD的形狀，并說明理由；
（2）若AE∥DC，梯形周長為20cm，求BC的長．

Answer 1

解：（1）四邊形AECD為菱形．理由如下：
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四邊形AECD為平行四邊形，
又∵對角線AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACE，
而AE∥DC，則∠ACD=∠EAC，
∴∠EAC=∠ACE，
∴EA=EC，
∴四邊形AECD為菱形．

（2）由（1）得四邊形AECD為菱形，
∴AB=DC=AD=EC=AE，
又∵∠D=120°，
∴∠DCB=60°，
∴∠B=60°，
∴△ABE為等邊三角形，
∴BE=BA，
設AB=x，x+x+x+x+x=20，解得x=4，
∴BC=2x=8cm．
分析：（1）由AD∥BC，AE∥DC，得到四邊形AECD為平行四邊形，又對角線AC平分∠BCD，得∠ACD=∠ACE，得到∠EAC=∠ACE，則EA=EC，根據菱形的判定方法即可判斷四邊形AECD的形狀．
（2）由（1）得四邊形AECD為菱形，得到AB=DC=AD=EC=AE，而∠D=120°，則∠DCB=60°，∠B=60°，則△ABE為等邊三角形，
得BE=BA，設AB=x，x+x+x+x+x=20，解得x=4，而BC=2x，即可得到BC的長．
點評：本題考查了等腰梯形的性質：等腰梯形的兩腰相等，兩底角相等．也考查了等邊三角形的性質以及菱形的判定方法．