Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠CDB=90°，過點A、D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．
（Ⅰ）求證：直線BD與⊙A相切；
（Ⅱ）若點D是AC的中點，BC=12，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）首先連接OD，由OA=OD，可得∠A=∠ODA，又由∠A+∠CDB=90°，則可證得∠ODB=90°，即可判定直線BD與⊙A相切；
（Ⅱ）易證得△CBA∽△CDB，然后由相似三角形的對應邊成比例，求得AD的長．
解答：（Ⅰ）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD為圓的切線．-------------------------------------（4分）

（Ⅱ）解：∵∠CDB+∠CBD=90°，∠A+∠CDB=90°，
∴∠A=∠CBD，
∵∠C是公共角，
∴△CBA∽△CDB，
∴，
∵D為AC的中點，
∴12²=DA•2AD，
∴AD=．-------------------------（8分）
點評：此題考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．