Question

【題目】拋物線y＝﹣x2+x+b與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．

（1）若B點坐標為（2，0）

①求實數b的值；

②如圖1，點E是拋物線在第一象限內的圖象上的點，求△CBE面積的最大值及此時點E的坐標．

（2）如圖2，拋物線的對稱軸交x軸于點D，若拋物線上存在點P，使得P、B、C、D四點能構成平行四邊形，求實數b的值．（提示：若點M，N的坐標為M（x，y），N（x，y），則線段MN的中點坐標為（，）

Answer 1

【答案】（1）①b＝2；②△CBE面積的最大值為1，此時E（1，2）；（2）b＝﹣1+ 或b＝，（，）

【解析】

（1）①將點B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b即可求b；

②設E（m，﹣m2+m+2），求出BC的直線解析式為y＝﹣x+2，和過點E與BC垂直的直線解析式為y＝x﹣m2+2，求出兩直線交點F，則EF最大時，△CBE面積的最大；

（2）可求C（0，b），B（，0），設M（t，﹣t2+t+b），利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，則分三種情況求解：①當CM和BD為平行四邊形的對角線時，＝，＝0，解得b＝﹣1+；②當BM和CD為平行四邊形的對角線時，＝，＝，b無解；③當BC和MD為平行四邊形的對角線時，＝，＝，解得b＝或b＝﹣（舍）．

解：（1）①將點B（2，0）代入y＝﹣x2+x+b，

得到0＝﹣4+2+b，

∴b＝2；

②C（0，2），B（2，0），

∴BC的直線解析式為y＝﹣x+2，

設E（m，﹣m2+m+2），

過點E與BC垂直的直線解析式為y＝x﹣m2+2，

∴直線BC與其垂線的交點為F（，﹣+2），

∴EF＝（﹣+2）＝[﹣（m﹣1）2+]，

當m＝1時，EF有最大值，

∴S＝×BC×EF＝×2×＝1，

∴△CBE面積的最大值為1，此時E（1，2）；

（2）∵拋物線的對稱軸為x＝，

∴D（，0），

∵函數與x軸有兩個交點，

∴△＝1+4b＞0，

∴b＞﹣，

∵C（0，b），B（，0），

設M（t，﹣t2+t+b），

①當CM和BD為平行四邊形的對角線時，

C、M的中點為（，），B、D的中點為（，0），

∴＝，＝0，

解得：b＝﹣1+或b＝﹣1﹣（舍去），

∴b＝﹣1+；

②當BM和CD為平行四邊形的對角線時，

B、M的中點為（，），C、D的中點為（，），

∴＝，＝，

∴b無解；

③當BC和MD為平行四邊形的對角線時，

B、C的中點為（，），M、D的中點為（，），

∴＝，＝，

解得：b＝或b＝﹣（舍）；

綜上所述：b＝﹣1+ 或b＝．