Question

操作實驗：

如圖，把等腰三角形沿頂角平分線對折并展開，發現被折痕分成的兩個三角形成軸對稱．
所以△ABD≌△ACD，所以∠B=∠C．
歸納結論：如果一個三角形有兩條邊相等，那么這兩條邊所對的角也相等．
根據上述內容，回答下列問題：
思考驗證：如圖（4），在△ABC中，AB=AC．試說明∠B=∠C的理由；

探究應用：如圖（5），CB⊥AB，垂足為A，DA⊥AB，垂足為B．E為AB的中點，AB=BC，CE⊥BD．
（1）BE與AD是否相等，為什么？
（2）小明認為AC是線段DE的垂直平分線，你認為對嗎？說說你的理由；
（3）∠DBC與∠DCB相等嗎試？說明理由．

Answer 1

解：思考驗證：

過A點作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（HL），
∴∠B=∠C；

探究應用：

（1）說明：因為CB⊥AB，
∴∠CBA=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∵DA⊥AB，
∴∠DAB=90°．
∴∠ADB+∠1=90°．
∴∠ADB=∠2．
在△ADB和△BEC中，
∴△DAB≌△EBC（ASA）．
∴DA=BE．

（2）∵E是AB中點，
∴AE=BE．
∵AD=BE，
∴AE=AD．
在△ABC中，因為AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA．
∴∠BAC=∠DAC．
在△ADC和△AEC中，，
∴△ADC≌△AEC（SAS）．
∴DC=CE．
∴C在線段DE的垂直平分線上．
∵AD=AE，
∴A在線段DE的垂直平分線上．
∴AC垂直平分DE．

（3）∵AC是線段DE的垂直平分線，
∴CD=CE．
∵△ADB≌△BEC，
∴DB=CE．
∴CD=BD．
∴∠DBC=∠DCB．
分析：思考驗證：作等腰三角形底邊上的高，構造全等三角形．
（1）BE與AD在兩個直角三角形中，證這兩個直角三角形全等即可；
（2）可證點A，C在線段DE的垂直平分線上．注意結合（1）的結論，利用全等證明即可；
（3）由第二問的垂直平分線的性質，得到CD=CE，由第一問的全等得到DB=CE，那么CD=BD，所以∠DBC=∠DCB．
點評：做等腰三角形的底邊上的高是常用的輔助線方法．當線段在兩個三角形中時，一般要證明這兩條線段所在的三角形全等；證明在同一個三角形中的兩個角相等時，要利用等邊對等角這個知識點．