Question

如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦ED分別交⊙O于點E，交AB于點H，交AC于點F，過點C的切線交ED的延長線于點P．
（1）若PC=PF，求證：AB⊥ED；
（2）點D在劣弧AC的什么位置時，才能使AD²=DE•DF，為什么？

Answer 1

（1）證明：連接OC，∵PC為⊙O的切線，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

（2）D在劣弧AC的中點時，才能使AD²=DE•DF．
連接AE．若AD²=DE•DF，
可得：△FAD∽△AED，
∴∠FAD=∠DEA，
∴

AD

=

CD

．
即D為劣弧AC的中點時，能使AD²=DE•DF．