Question

（11·大連）（本題12分）如圖15，拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A (－1，0)、B (3，
0)、C (0，3)三點，對稱軸與拋物線相交于點P、與直線BC相交于點M，連接PB．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）拋物線上是否存在一點Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點Q的坐標；
若不存在，說明理由；
（3）在第一象限、對稱軸右側的拋物線上是否存在一點R，使△RPM與△RMB的面積相
等，若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設拋物線解析式為y＝a(x＋1)(x－3)
∴3＝a·(－3)  即＝a－1
∴所求的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x²＋2x＋3…………………………2分
解法二：把三點代入拋物線解析式y＝ax²＋bx＋c，

∴所求的解析式為y＝－(x＋1)(x－3)＝－x²＋2x＋3…………………………2分
（2）存在

y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4  ∴點P的坐標為 (1，4)
設直線BC的解析式為y＝kx＋b，

即y＝－x＋3
∴點M的坐標為 (1，2)…………………………3分
設對稱軸與x軸相交于點N，則MN＝PM，
∴△NMB與△PMB的面積相等
∴△QMB與△PMB的面積相等
∴點Q在過點P且平行于BC的直線l₁或過點N且平行于BC的直線l₂上，
設l₁的解析式為y＝－x＋b₁，則4＝－1＋b₁，b₁＝5，∴y＝－x＋5
設l₂的解析式為y＝－x＋b₂，則0＝－1＋b₂，b₂＝1，∴y＝－x＋1………………………6分
設l₁與拋物線相交于點Q (m，－m＋5)  l₂與拋物線相交于點Q’ (n，－n＋1) 
－m＋5＝－m²＋2m＋3  解得m₁＝1（舍去），m₂＝2，∴Q (2，3)……………………7分
－n＋1＝－n²＋2n＋3 

解析