Question

如圖，已知半圓的半徑OA=1，將一個三角板的直角頂點固定在圓心上，當三角板繞著圓心轉動時，三角板的兩條直角與半圓分別交于C、D兩點，連接AD、BC交于點E．
（1）求證：△ACE∽△BDE；
（2）當三角板旋轉至∠AOC=30°時，求AE與BE的長．

Answer 1

分析：（1）根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB=∠ADB=90°，又對頂角相等得到∠CEA=∠DEB，即可證得△ACE∽△BDE；
（2）根據圓周角定理得到∠ABC=

1

2

×30°=15°，而∠COD=90°，得到∠DOB=60°，則△ODB為等邊三角形，∠DBE=60°-15°=45°，由可得到△DBE為等腰直角三角形，由OA=1，根據等邊三角形的性質和等腰直角三角形和含30°的直角三角形三邊的關系，即可計算出AE與BE的長．

解答：（1）證明：∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
而∠CEA=∠DEB，
∴△ACE∽△BDE；

（2）解：∵∠AOC=30°，∠COD=90°，
∴∠DOB=90°-30°=60°，∠ABC=

1

2

×30°=15°，
∴△ODB為等邊三角形，
∴∠DBE=60°-15°=45°，
∴△DBE為等腰直角三角形，
而OA=1，
∴AB=2，BD=1，
∴DE=1，BE=

2

BD=

2

，AD=

3

BD=

3

，
∴AE=AD-DE=

3

-1．
即AE與BE的長分別為

3

-1，

2

．

點評：本題考查了圓周角定理及其推論：在同圓或等圓中，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角．也考查了等腰直角三角形三邊的關系以及含30°的直角三角形三邊的關系．