Question

如圖，已知△ABC內接于⊙O，AC是⊙O的直徑，D是的中點，過點D作直線BC的垂線，分別交CB、CA的延長線E、F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證EF是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥EF即可．
（2）先根據勾股定理求出CF的長，再根據相似三角形的判定和性質求出⊙O的半徑．
解答：（1）證明：連接OD交于AB于點G．
∵D是的中點，OD為半徑，
∴AG=BG．（2分）
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位線．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．（2分）
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切線．（1分）

（2）解：在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．（1分）
設半徑OC=OD=r，則OF=10-r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴，（2分）
∴=，
∴r=，
即：⊙O的半徑為．（2分）
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形的判定和性質．