Question

【題目】如圖，拋物線y=與x軸、y軸交于A、B兩點，將△OAB繞點B逆時針旋轉90°后得到△O′A′B，點O落到點O′的位置，點A落到點A′的位置．

(1)求點O′和點A′的坐標；

(2)將拋物線沿y軸方向平移后經過點A′，求平移后所得拋物線對應的函數關系式；

(3)設(2)中平移后所得拋物線與y軸的交點為C，與x軸的交點為D，點M在x軸上，點N在平移后所得拋物線上，求出以點C、D、M、N為頂點的四邊形是以CD為邊的平行四邊形時點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）O′(2，2)，A′(2，1)；（2）；（3）(2，1)，（3，-1）和（-1，-1）．

【解析】

（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點A（-1，0），B（0，2），再利用旋轉的性質得BO′=BO=2，O′A′=OA=1，∠OBO′=90°，∠BO′A′=∠BOA=90°，然后利用第一象限點的坐標特征寫出點O′和點A′的坐標；
（2）先判斷點O′在拋物線上，利用拋物線沿y軸方向平移后經過點A′得到把拋物線向下平移1個單位，然后利用拋物線的平移規律寫出平移后的拋物線解析式；
（3）先確定C（0，1），利用平行四邊形的性質得CD∥MN，討論：當N點在x軸上方的拋物線上時，CN∥DM，此時N點的縱坐標為1，N點與A′點重合，N點坐標為（2，1）；當N點在x軸下方的拋物線上時，DN∥CM，則點C和點N到x軸的距離相等，N點的縱坐標為-1，則解方程得此時N點坐標．

解析（1）當y=0時，，解得x=-1,x=3，則A（-1，0），

當x=0時，y=2，則B(0，2)，

∵△OAB繞點B逆時針旋轉90°后得到△O′A′B．

∴BO′=BO=2,O′A′=OA=1，∠OBO′=90°，∠BO′A′=∠BOA= 90°,

∴O′(2，2)，A′(2，1).

(2)∵當x=2時，，

∴點O′在拋物線上，

∵拋物線沿y軸方向平移后經過點A′，

∴把拋物線向下平移1個單位，

∴平移后的拋物線解析式為．

(3)當x=0時，，則C(0，1)，

∵以點C、D、M、N為頂點的四邊形是以CD為邊的平行四邊形．

∴CD//MN，

當N點在x軸上方的拋物線上時，CN//DM，

此時N點的縱坐標為1，N點與A′點重合，N點坐標為(2，1);

當N點在x軸下方的拋物線上時，DN∥CM，則點C和點N到x軸的距離相等，則N點的縱坐標為-1，

當y=-1時，，解得x=3，x=-1，

此時N點坐標為(3，-1)或（-1，-1）．

綜上所述，滿足條件的N點坐標有(2，1)，（3，-1）和（-1，-1）．