Question

已知關于x的一元二次方程ax²+x-a=0（a≠0）．
（1）求證：對于任意非零實數a，該方程恒有兩個異號的實數根；
（2）設x₁、x₂是該方程的兩個根，若|x₁|+|x₂|=4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求證：對于任意非零實數a，該方程恒有兩個異號的實數根，即證明一元二次方程的根的判別式△=b²-4ac＞0，則方程有兩個不相等的實數根，若兩根之積小于0，則方程有兩個異號的實數根；
（2）根據一元二次方程的根與系數的關系得到，兩根之和與兩根之積，把|x₁|+|x₂|=4變形成與兩根之和與兩根之積有關的式子，代入兩根之和與兩根之積，求得a的值．

解答：證明：（1）∵△=1+4a²．
∴△＞0．
∴方程恒有兩個實數根．
設方程的兩根為x₁，x₂．
∵a≠0．
∴x₁•x₂=-1＜0．
∴方程恒有兩個異號的實數根；

解：（2）∵x₁•x₂＜0．
∴|x₁|+|x₂|=|x₁-x₂|=4．
則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=16．
又∵x₁+x₂=-

1

a

．
∴

1

a2

+4=16．
∴a=±

3

6

．

點評：（1）一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
①△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
②△=0?方程有兩個相等的實數根；
③△＜0?方程沒有實數根．
（2）一元二次方程根與系數的關系：x_l+x₂=-

b

a

，x_l•x₂=

c

a

．