Question

如圖，PA為⊙O的切線，A為切點，連接PO并延長，與圓相交于點B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分線與BC和⊙O分別相交于點D和E．求：
（1）⊙O的半徑；
（2）sin∠BAP的值；
（3）AD•AE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AO，求出∠BAP=∠C，證△PAB∽△PCA，得出=，代入求出PC即可；
（2）根據(jù)△PAB∽△PCA得出==，求出=，代入sinC=sin∠BAP求出即可；
（3）連接CE，證△ACE∽△ADB，推出AD•AE=AB•AC，根據(jù)=求出AB=3，AC=2AB=6，代入即可求出答案．
解答：解：（1）連接AO，
∵PA為⊙O的切線，A為切點，
∴∠OAP=∠OAB+∠BAP=90°，
∵BC是⊙O直徑，
∴∠CAB=∠CAO+∠OAB=90°，
∴∠CAO=∠PAB，
∵OC=OA，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAP=∠C，
∵∠P=∠P，
∴△PAB∽△PCA，
∴=，
∴=，
∴PC=20，BC=15，
則半徑為；         
       
（2）∵△PAB∽△PCA，
∴==，
∵∠CAB=90°，
∴=，
∴sinC=sin∠BAP=；
（3）連接CE，
∵AE是∠BAC的角平分線，
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠E=∠ABD，
∴△ACE∽△ADB，
∴=，
∴AD•AE=AB•AC，
∵=，BC=15，
∴AB=3，AC=2AB=6，
∴AD•AE=3×6=90．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識點的應(yīng)用．