Question

在直角坐標系xOy中，已知拋物線y=ax²+bx+c的開口向上，頂點P在直線y=-4x上，且P到坐標原點距離為，又知拋物線與x軸兩交點A、B（A在B的左側）的橫坐標的平方和為10．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若Q是拋物線上異于A、B、P的點，且∠QAP=90°，求點Q的坐標．（利用“點坐標的絕對值等于線段長”溝通函數與幾何，轉化為點坐標用函數知識，轉化為線段長用幾何知識）

Answer 1

解：

（1）∵頂點P在直線y=-4x上，
可設P（a₁，-4a），則有，
解得：a=±1，
∴P（1，-4）或（-1，4）．
∵拋物線開口向上，又與x軸有交點，
∴（-1，4）不合題意舍去．
設y=a（x-1）²-4=ax²-2ax+a-4與x軸交于點A（x₁，0）、
B（{x₂，0），
，
消x₁、x₂，
解得a=1；

（2）如圖所示，設拋物線上點Q（m，n），過Q作QM⊥x軸于點M．
，，
，
∵∠QAP=90°，由勾股定理，得=（m-1）²+（n+4）²，
整理，得m-2n+1=0，又n=m²-2m-3．
解得（不合題意舍去）或．
∴Q（）．

分析：（1）由頂點P在直線y=-4x上，且P到坐標原點距離為，可得出點P的坐標，再利用勾股定理可以解決，
（2）假設出點Q的坐標，表示出AQ，QP的長度，利用勾股定理可以解決．
點評：此題主要考查了二次函數與一次函數綜合應用，以及勾股定理的應用，計算量較大，應認真計算．