Question

如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O為AB上一點，以O為圓心、OB長為半徑的圓交BC于D，DE⊥AC交AC于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O與AC相切于F，AB=AC=5cm，sinA=，求⊙O的半徑的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的判定定理，只需連接OD，證明OD⊥DE．已知DE⊥AC，故利用同位角相等，兩條直線平行就可證明；
（2）根據切線的性質定理，連接過切點的半徑，運用銳角三角函數的定義，用半徑表示OA的長，再根據AB的長列方程求解．
解答：（1）證明：連接OD，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC．
又DE⊥AC，
∴DE⊥OD．
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：⊙O與AC相切于F點，連接OF，
則：OF⊥AC．
在Rt△OAF中，sinA=，
∴OA=OF，
又AB=OA+OB=5，
∴．
∴OF=cm．
點評：此題綜合運用了切線的判定和性質，熟練運用銳角三角函數的定義表示出兩條邊之間的關系．