Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B與∠C的角平分線交于點O，過O點作MN∥BC，分別交AB，AC于M，N．
（1）圖中等腰三角形共有______個（已知的△ABC除外）
（2）求證：△BMO是等腰三角形；
（3）求證：MN=2BM．
（4）△ABC中，AB=AC，M，N分別是AB，AC上的點，且AM=AN，O為MN的中點，則BO，CO分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，這個結論對嗎？請直接回答．

Answer 1

（1）解：△BOM，△CON，△BOC，△AMN，△ABC均為等腰三角形，
所以，除△ABC外還有4個；

（2）證明：∵BO是∠ABC的平分線，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN∥BC，
∴∠CBO=∠MOB，
∴∠MBO=∠MOB，
∴△BMO是等腰三角形；

（3）證明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AB-AM=AC-AN，
即BM=CN，
根據（2）△BMO是等腰三角形，
∴BM=OM，
同理可得CN=ON，
∴MN=OM+ON=BM+CN=2BM；

（4）解：結論不正確；
∵O為MN中點，
∴OM=ON，
又∵MN∥BC，
∴∠BMO=∠CNO，BM=CN，
在△BOM和△CON中，
，
∴△BOM≌△CON（SAS），
∴∠OBM=∠OCN，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
但不能肯定∠OBM=∠OBC，
即不能確定其為角平分線．
∴此問結論不正確．
分析：（1）寫出圖中的三角形都是等腰三角形；
（2）根據角平分線的定義可得∠MBO=∠CBO，再根據兩直線平行，內錯角相等可得∠CBO=∠MOB，從而得到∠MBO=∠MOB，即可得證；
（3）根據等邊對等角求出∠ABC=∠ACB，再根據兩直線平行，同位角相等求出∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，然后求出∠AMN=∠ANM，再根據等角對等邊求出AM=AN，然后求出BM=CN，再根據（2）的結論可得BM=MO，CN=ON，從而得證；
（4）先求出△BOM和△CON全等，根據全等三角形對應角相等可得∠OBM=∠OCN，再求出∠OBC=∠OCB，再根據不能肯定∠OBM=∠OBC，從而得到此題結論不正確．
點評：本題考查了等腰三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的定義，平行線的性質，綜合性較強，但難度不大，仔細分析圖形是解題的關鍵．